Fordham University

Computer calculations for "Some singular curves in Mukai's model of \(\overline{M}_7\)", Section 4

Code 4.3: Equations of schemes with these automorphisms

We continue the session begun in Code 4.1 and Code 4.2.

We compute the ideal given by \( P_{c_2,c_4} \cap OG(5,10)\) and check that for all such values of \(c_2,c_4\), the corresponding scheme in \( P_{c_2,c_4}\) has the desired \( \mathbb{G}_m\) and \(Z_2\) actions. 

i30 : R=QQ[c_2,c_4,Degrees=>{0,0}];

i31 : S=R[y_0..y_6];

i32 : x_1245=y_0;

i33 : x_1345=y_1;

i34 : x_2345=y_2;

i35 : x_14=y_3;

i36 : x_15=y_4;

i37 : x_25=2*y_5;

i38 : x_35=y_6;

i39 : x_0=0;

i40 : x_12=-c_4*x_1345;

i41 : x_13=-c_2*x_2345;

i42 : x_23=x_14;

i43 : x_24=-2*c_2*x_15;

i44 : x_34=-1/2*c_4*x_25;

i45 : x_45=0;

i46 : x_1234=0;

i47 : x_1235=0;

i48 : X = ideal({x_0*x_2345-x_23*x_45+x_24*x_35-x_25*x_34,
      x_12*x_1345-x_13*x_1245+x_14*x_1235-x_15*x_1234,
      x_0*x_1345-x_13*x_45+x_14*x_35-x_15*x_34,
      x_12*x_2345-x_23*x_1245+x_24*x_1235-x_25*x_1234,
      x_0*x_1245-x_12*x_45+x_14*x_25-x_15*x_24,
      x_13*x_2345-x_23*x_1345+x_34*x_1235-x_35*x_1234,
      x_0*x_1235-x_12*x_35+x_13*x_25-x_15*x_23,
      x_14*x_2345-x_24*x_1345+x_34*x_1245-x_45*x_1234,
      x_0*x_1234-x_12*x_34+x_13*x_24-x_14*x_23,
      x_15*x_2345-x_25*x_1345+x_35*x_1245-x_45*x_1235});

o48 : Ideal of S

i49 : print toString flatten entries gens(X)
{2*c_4*y_5^2-2*c_2*y_4*y_6, -c_4*y_1^2+c_2*y_0*y_2, c_4*y_4*y_5+y_3*y_6, -c_4*y_1*y_2-y_0*y_3, 2*c_2*y_4^2+2*y_3*y_5, -c_2*y_2^2-y_1*y_3, -y_3*y_4-2*c_2*y_2*y_5+c_4*y_1*y_6, y_2*y_3+2*c_2*y_1*y_4-c_4*y_0*y_5, -y_3^2+2*c_2^2*y_2*y_4-c_4^2*y_1*y_5, y_2*y_4-2*y_1*y_5+y_0*y_6}

i50 : R=frac(QQ[c_2,c_4,t,Degrees=>{0,0,0}]);

i51 : S=R[y_0..y_6];

i52 : I=ideal {2*c_4*y_5^2-2*c_2*y_4*y_6, -c_4*y_1^2+c_2*y_0*y_2, c_4*y_4*y_5+y_3*y_6, -c_4*y_1*y_2-y_0*y_3, 2*c_2*y_4^2+2*y_3*y_5, -c_2*y_2^2-y_1*y_3, -y_3*y_4-2*c_2*y_2*y_5+c_4*y_1*y_6, y_2*y_3+2*c_2*y_1*y_4-c_4*y_0*y_5, -y_3^2+2*c_2^2*y_2*y_4-c_4^2*y_1*y_5, y_2*y_4-2*y_1*y_5+y_0*y_6}

                 2                 2                                               2               2          
o52 = ideal (2c y  - 2c y y , - c y  + c y y , c y y  + y y , - c y y  - y y , 2c y  + 2y y , - c y  - y y , -
               4 5     2 4 6     4 1    2 0 2   4 4 5    3 6     4 1 2    0 3    2 4     3 5     2 2    1 3   
      --------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                           2     2        2
      y y  - 2c y y  + c y y , y y  + 2c y y  - c y y , - y  + 2c y y  - c y y , y y  - 2y y  + y y )
       3 4     2 2 5    4 1 6   2 3     2 1 4    4 0 5     3     2 2 4    4 1 5   2 4     1 5    0 6

o52 : Ideal of S

i53 : F1=map(S,S,{t^-3*y_0,t^-2*y_1,t^-1*y_2,y_3,t^1*y_4,t^2*y_5,t^3*y_6});

o53 : RingMap S <--- S

i54 : F1(I)==I

o54 = true

i55 : R=frac(QQ[c_2,c_4,Degrees=>{0,0}]);

i56 : S=R[y_0..y_6];

i57 : I=ideal {2*c_4*y_5^2-2*c_2*y_4*y_6, -c_4*y_1^2+c_2*y_0*y_2, c_4*y_4*y_5+y_3*y_6, -c_4*y_1*y_2-y_0*y_3, 2*c_2*y_4^2+2*y_3*y_5, -c_2*y_2^2-y_1*y_3, -y_3*y_4-2*c_2*y_2*y_5+c_4*y_1*y_6, y_2*y_3+2*c_2*y_1*y_4-c_4*y_0*y_5, -y_3^2+2*c_2^2*y_2*y_4-c_4^2*y_1*y_5, y_2*y_4-2*y_1*y_5+y_0*y_6}

                 2                 2                                               2               2          
o57 = ideal (2c y  - 2c y y , - c y  + c y y , c y y  + y y , - c y y  - y y , 2c y  + 2y y , - c y  - y y , -
               4 5     2 4 6     4 1    2 0 2   4 4 5    3 6     4 1 2    0 3    2 4     3 5     2 2    1 3   
      --------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                           2     2        2
      y y  - 2c y y  + c y y , y y  + 2c y y  - c y y , - y  + 2c y y  - c y y , y y  - 2y y  + y y )
       3 4     2 2 5    4 1 6   2 3     2 1 4    4 0 5     3     2 2 4    4 1 5   2 4     1 5    0 6

o57 : Ideal of S

i58 : F2=map(S,S,reverse gens S);

o58 : RingMap S <--- S

i59 : F2(I)==I

o59 = true
Finally, we check that the values \(c_2 = -1\) and \(c_4 = -1\) yield the balanced ribbon of genus 7. 
 i60 : S=QQ[y_0..y_6];

i61 : c_2=-1;

i62 : c_4=-1;

i63 : L = {2*c_4*y_5^2-2*c_2*y_4*y_6, -c_4*y_1^2+c_2*y_0*y_2, c_4*y_4*y_5+y_3*y_6, -c_4*y_1*y_2-y_0*y_3, 2*c_2*y_4^2+2*y_3*y_5, -c_2*y_2^2-y_1*y_3, -y_3*y_4-2*c_2*y_2*y_5+c_4*y_1*y_6, y_2*y_3+2*c_2*y_1*y_4-c_4*y_0*y_5, -y_3^2+2*c_2^2*y_2*y_4-c_4^2*y_1*y_5, y_2*y_4-2*y_1*y_5+y_0*y_6}

           2           2                                         2           2                               
o63 = {- 2y  + 2y y , y  - y y , - y y  + y y , y y  - y y , - 2y  + 2y y , y  - y y , - y y  + 2y y  - y y ,
           5     4 6   1    0 2     4 5    3 6   1 2    0 3      4     3 5   2    1 3     3 4     2 5    1 6 
      --------------------------------------------------------------------------------------------------------
                              2
      y y  - 2y y  + y y , - y  + 2y y  - y y , y y  - 2y y  + y y }
       2 3     1 4    0 5     3     2 4    1 5   2 4     1 5    0 6

o63 : List

i64 : BR7={y_2*y_3-2*y_1*y_4+y_0*y_5, y_2*y_4-2*y_1*y_5+y_0*y_6, y_3^2-2*y_2*y_4+y_1*y_5, y_3*y_4-2*y_2*y_5+y_1*y_6, -y_1^2+y_0*y_2, -y_1*y_2+y_0*y_3, -y_2^2+y_1*y_3, -y_4^2+y_3*y_5, -y_4*y_5+y_3*y_6, -y_5^2+y_4*y_6};

i65 : L = sort L;

i66 : BR7 = sort BR7;

i67 : L = apply(L, f -> (1/leadCoefficient(f))*f);

i68 : BR7 = apply(BR7, f -> (1/leadCoefficient(f))*f);

i69 : L==BR7