Computer calculations for "Some singular curves in Mukai's model of \(\overline{M}_7\)", Section 4

Code 4.1: The quadratic form

First, we compute \( \operatorname{ker}(\operatorname{Sym}^2(I_2) \rightarrow I_4)\).

Here is the file MukaiModelOfM7.m2.txt used in the session below.

Macaulay2, version 1.20
with packages: ConwayPolynomials, Elimination, IntegralClosure, InverseSystems, Isomorphism, LLLBases,
               MinimalPrimes, OnlineLookup, PrimaryDecomposition, ReesAlgebra, Saturation, TangentCone

i1 : load "../MukaiModelOfM7.m2";

i2 : f = balancedRibbon(3)

                                                 2                                         2                 
o2 = {y y  - 2y y  + y y , y y  - 2y y  + y y , y  - 2y y  + y y , y y  - 2y y  + y y , - y  + y y , - y y  +
       2 3     1 4    0 5   2 4     1 5    0 6   3     2 4    1 5   3 4     2 5    1 6     1    0 2     1 2  
     ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
              2            2                           2
     y y , - y  + y y , - y  + y y , - y y  + y y , - y  + y y }
      0 3     2    1 3     4    3 5     4 5    3 6     5    4 6

o2 : List

i3 : quadraticFormOnI2(f)
rank ker(Sym2I2 -> I4) = 1

     1       1              1
o3 = -q q  - -q q  + q q  - -q q  + q q
     2 1 2   2 0 3    6 7   2 5 8    4 9

o3 : QQ[q ..q ]
         0   9

Next, we change the basis to obtain the desired quadratic form.

i4 : g = {2*f_4,-f_5,2*f_6,-f_0,f_1,f_9,f_8,f_7,f_3,f_2};
    
i5 : Q = (v) -> (
         sum apply(5, i -> v_i*v_(i+5))
     );

i6 : assert(Q(g)==0)

i7 : I2 = g

          2                           2                                                         2          
o7 = {- 2y  + 2y y , y y  - y y , - 2y  + 2y y , - y y  + 2y y  - y y , y y  - 2y y  + y y , - y  + y y , -
          1     0 2   1 2    0 3      2     1 3     2 3     1 4    0 5   2 4     1 5    0 6     5    4 6   
     ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
                     2                               2
     y y  + y y , - y  + y y , y y  - 2y y  + y y , y  - 2y y  + y y }
      4 5    3 6     4    3 5   3 4     2 5    1 6   3     2 4    1 5

o7 : List